Конечная математика Примеры

$x - y + 12 z = 8$ , $y - 14 z = - 13$ , $z = 2$

Этап 1

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 12 \\ 0 & 1 & - 14 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ - 13 \\ 2 \end{array}]$

Этап 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 12 \\ 0 & 1 & - 14 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 12 \\ 0 & 1 & - 14 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 & 12 \\ 0 & 1 & - 14 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} |$

Этап 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 14 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Этап 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 14 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Этап 2.2.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 12 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Этап 2.2.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 12 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Этап 2.2.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 12 \\ 1 & - 14 \end{array} |$

Этап 2.2.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 12 \\ 1 & - 14 \end{array} |$

Этап 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 14 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 12 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 12 \\ 1 & - 14 \end{array} |$

Этап 2.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 1 & 12 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 14 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 12 \\ 1 & - 14 \end{array} |$

Этап 2.4

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 1 & 12 \\ 1 & - 14 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 14 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 14 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 1 + 0 \cdot - 14) + 0 + 0$

Этап 2.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 (1 + 0 \cdot - 14) + 0 + 0$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $0$ на $- 14$ .

$1 (1 + 0) + 0 + 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$1 \cdot 1 + 0 + 0$

Этап 2.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 0 + 0$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ и $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.6.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

$D = 1$

Этап 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Этап 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 8 \\ - 13 \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 8 & - 1 & 12 \\ - 13 & 1 & - 14 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} |$

Этап 4.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 4.2.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 13 & - 14 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 4.2.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 13 & - 14 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 4.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 4.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 4.2.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 & 12 \\ - 13 & - 14 \end{array} |$

Этап 4.2.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ - 13 & - 14 \end{array} |$

Этап 4.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 13 & - 14 \\ 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ - 13 & - 14 \end{array} |$

Этап 4.2.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 8 & 12 \\ - 13 & - 14 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} - 13 & - 14 \\ 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0$

Этап 4.2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 13 & - 14 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 13 \cdot 1 - 2 \cdot - 14) + 1 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0$

Этап 4.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1

Умножим $- 13$ на $1$ .

$1 (- 13 - 2 \cdot - 14) + 1 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0$

Этап 4.2.3.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 14$ .

$1 (- 13 + 28) + 1 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0$

Этап 4.2.3.2.2

Добавим $- 13$ и $28$ .

$1 \cdot 15 + 1 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0$

Этап 4.2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 15 + 1 (8 \cdot 1 - 2 \cdot 12) + 0$

Этап 4.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1.1

Умножим $8$ на $1$ .

$1 \cdot 15 + 1 (8 - 2 \cdot 12) + 0$

Этап 4.2.4.2.1.2

Умножим $- 2$ на $12$ .

$1 \cdot 15 + 1 (8 - 24) + 0$

Этап 4.2.4.2.2

Вычтем $24$ из $8$ .

$1 \cdot 15 + 1 \cdot - 16 + 0$

Этап 4.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Умножим $15$ на $1$ .

$15 + 1 \cdot - 16 + 0$

Этап 4.2.5.1.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$15 - 16 + 0$

Этап 4.2.5.2

Вычтем $16$ из $15$ .

$- 1 + 0$

Этап 4.2.5.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$- 1$

$D_{x} = - 1$

Этап 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 4.4

Substitute $1$ for $D$ and $- 1$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 1}{1}$

Этап 4.5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$x = - 1$

Этап 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 8 \\ - 13 \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 8 & 12 \\ 0 & - 13 & - 14 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 13 & - 14 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 13 & - 14 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 & 12 \\ - 13 & - 14 \end{array} |$

Этап 5.2.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ - 13 & - 14 \end{array} |$

Этап 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 13 & - 14 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ - 13 & - 14 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} - 13 & - 14 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ - 13 & - 14 \end{array} |$

Этап 5.2.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 8 & 12 \\ - 13 & - 14 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} - 13 & - 14 \\ 2 & 1 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 5.2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 13 & - 14 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 13 \cdot 1 - 2 \cdot - 14) + 0 + 0$

Этап 5.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1.1

Умножим $- 13$ на $1$ .

$1 (- 13 - 2 \cdot - 14) + 0 + 0$

Этап 5.2.4.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 14$ .

$1 (- 13 + 28) + 0 + 0$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $- 13$ и $28$ .

$1 \cdot 15 + 0 + 0$

Этап 5.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $15$ на $1$ .

$15 + 0 + 0$

Этап 5.2.5.2

Добавим $15$ и $0$ .

$15 + 0$

Этап 5.2.5.3

Добавим $15$ и $0$ .

$15$

$D_{y} = 15$

Этап 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 5.4

Substitute $1$ for $D$ and $15$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{15}{1}$

Этап 5.5

Разделим $15$ на $1$ .

$y = 15$

Этап 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 8 \\ - 13 \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 1 & - 13 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} |$

Этап 6.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 13 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 13 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 6.2.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 6.2.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 6.2.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 13 \end{array} |$

Этап 6.2.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 13 \end{array} |$

Этап 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 13 \\ 0 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 0 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 13 \end{array} |$

Этап 6.2.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 0 & 2 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 13 \\ 0 & 2 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 13 \end{array} |$

Этап 6.2.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 13 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 13 \\ 0 & 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 6.2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 13 \\ 0 & 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 2 + 0 \cdot - 13) + 0 + 0$

Этап 6.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$1 (2 + 0 \cdot - 13) + 0 + 0$

Этап 6.2.4.2.1.2

Умножим $0$ на $- 13$ .

$1 (2 + 0) + 0 + 0$

Этап 6.2.4.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

Этап 6.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 0 + 0$

Этап 6.2.5.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2 + 0$

Этап 6.2.5.3

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

$D_{z} = 2$

Этап 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Этап 6.4

Substitute $1$ for $D$ and $2$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{2}{1}$

Этап 6.5

Разделим $2$ на $1$ .

$z = 2$

Этап 7

Приведем решение системы уравнений.

$x = - 1$

$y = 15$

$z = 2$